西方数学文化理念传播译丛 高观点下的初等数学 第三卷 精确数学与近似数学
出版时间：2008
丛编项： 西方数学文化理念传播译丛
内容简介
　　菲利克斯·克莱因是19世纪末20世纪初世界最有影响力的数学学派——哥廷根学派的创始人，他不仅是伟大的数学家，也是现代国际数学教育的奠基人、杰出的数学史家和数学教育家，在数学界享有崇高的声誉和巨大的影响。本书是克莱因根据自己在哥廷根大学多年为德国中学数学教师及在校学生开设的讲座所撰写的基础数学普及读物。该书反映了他对数学的许多观点，向人们生动地展示了一流大师的遗风，出版后被译成多种文字，是一部数学教育的不朽杰作，影响至今不衰。全书共分3卷。第一卷：算术，代数、分析；第二卷：几何；第三卷：精确数学与近似数学。克莱因认为函数为数学的”灵魂”。应该成为中学数学的“基石”，应该把算术、代数和几何方面的内容，通过几何的形式用以函数为中心的观念综合起来；强调要用近代数学的观点来改造传统的中学数学内容，主张加强函数和微积分的教学，改革和充实代数的内容，倡导”高观点下的初等数学”意识。在克莱因看来，一个数学教师的职责是：”应使学生了解数学并不是孤立的各门学问，而是一个有机的整体”；基础数学的教师应该站在更高的视角（高等数学）来审视。理解初等数学问题，只有观点高了，事物才能显得明了而简单；一个称职的教师应当掌握或了解数学的各种概念、方法及其发展与完善的过程以及数学教育演化的经过。他认为”有关的每一个分支，原则上应看做是数学整体的代表”，“有许多初等数学的现象只有在非初等的理论结构内才能深刻地理解”。本书对我国从事数学学习和数学教育的广大读者具有较好的启示作用，用本书译者之一，我国数学家、数学教育家吴大任先生的话来说，”所有对数学有一定了解的人都可以从中获得教益和启发”，此书”至今读来仍然感到十分亲切。这是因为，其内容主要是基础数学，其观点蕴含着真理……”。
目录
第三卷 目录
译者的话
第一版序
第三版序
前言
第七部分 实变函数及其在直角坐标下的表示法
第二十二章 关于单个自变数x的阐释
§22.1 经验准确度与抽象准确度，现代实数概念
§22.2 精确数学与近似数学，纯粹几何中亦有此分野
§22.3 直观与思维，从几何的不同方面说明
§22.4 用关于点集的两个定理来阐明

第二十三章 单变数x的函数y＝f（x）
§23.1 函数的抽象确定和经验确定（函数带概念）
§23.2 关于空间直观的引导作用
§23.3 自然规律的准确度（附关于物质构成的不同观点）
§23.4 经验曲线的属性：连通性、方向、曲率
§23.5 关于连续函数的柯西定义和经验曲线类似到什么程度？
§23.6 连续函数的可积性
§23.7 关于最大值和最小值的存在定理
§23.8 4个广义导数
§23.9 魏尔斯特拉斯不可微函数；它的形象概述
§23.10 魏尔斯特拉斯函数的不可微性
§23.11 “合理”函数

第二十四章 函数的近似表示
§24.1 用合理函数近似表示经验曲线
§24.2 用简单解析式近似表示合理函数
§24.3 拉格朗日插值公式
§24.4 泰勒定理和泰勒级数
§24.5 用拉格朗日多项式近似表示积分和导函数
§24.6 关于解析函数及其在阐释自然中的作用
§24.7 用有尽三角级数插值法

第二十五章 进一步阐述函数的三角函数表示
§25.1 经验函数表示中的误差估计
§25.2 通过最小二乘法所得的三角级数插值
§25.3 调和分析仪
§25.4 三角级数举例
§25.5 切比雪夫关于插值法的工作

第二十六章 二元函数
§26.1 连续性
§26.2 偏导次序的颠倒实例
§26.3 用球函数级数近似表示球面上的函数
§26.4 球函数在球面上的值分布
§26.5 用有尽球函数级数作近似表示的误差估计

第八部分 平面曲线的自由几何
第二十七章 从精确理论观点讨论平面几何
§27.1 关于点集的若干定理
§27.2 通过对两个或多个不相交圆的反演所产生的点集
§27.3 极限点集的性质
§27.4 二维连续统概念、一般曲线概念
§27.5 覆盖整个正方形的皮亚诺曲线
§27.6 较狭义的曲线概念：若当曲线
§27.7 更狭义的曲线概念：正则曲线
§27.8 用正则理想曲线近似表示直观曲线
§27.9 理想曲线的可感知性
§27.10 特殊理想曲线：解析曲线与代数曲线，代数曲线的格拉斯曼几何产生法
§27.11 用理想图形表现经验图形；佩雷观点

第二十八章 继续从精确理论观点讨论平面几何
§28.1 对两个相切圆的相继反演
§28.2 对3个循环相切圆的相继反演（“模图形”）
§28.3 4个循环相切圆的标准款
§28.4 4个循环相切圆的一般款
§28.5 所得非解析曲线的性质
§28.6 这整个论述的前提，韦龙尼斯的进一步理想化

第二十九章 转入应用几何：A. 测量学
§29.1 一切实际度量的不准确性，斯涅尼奥斯课题的实践
§29.2 通过多余的度量来确定准确度，最小二乘法的原则阐述
§29.3 近似计算，用关于球面小三角形的勒让德定理来说明
§29.4 地球参考椭面上最短线在测量学中的意义（附关于微分方程论的假设）
§29.5 关于水准面及其实际测定

第三十章 续论应用几何：B.作图几何
§30.1 关于作图几何中一种误差理论的假设，用帕斯卡定理的作图说明
§30.2 由经验图形推导理想曲线性质的可能性
§30.3 对代数曲线的应用，将要用到的关于代数的知识
§30.4 提出所要证明的定理：w′＋2t″＝n（n－2）
§30.5 证明中将采用的连续性方法
§30.6 有与无二重点的Cn之间的转化
§30.7 符合定理的偶次曲线举例
§30.8 奇次曲线的例子
§30.9 举例说明证明中的连续性方法，证明的完成

第九部分 用作图和模型表现理想图形
§1 无奇点挠曲线，特殊地，C3的形状（曲线的投影及其切线曲面的平面截线）
§2 挠曲线的7种奇点
§3 关于无奇点曲面形状的一般讨论
§4 关于F3的二重点，特别是它的二切面重点和单切面重点
§5 F3的形状概述
呼吁： 通过观察自然，不断修订传统科学结论
人名译名对照
译后记