集合论基础
出版时间： 2014年版
内容简介
　　这是一本面向计算机科学与技术类专业和数学专业，全面介绍康托集合论基础知识的教材。本书基于计算机科学与技术一级学科人才培养科学理论，按照计算机科学与技术学科教材系列一体化设计的纲要，全面介绍了康托素朴集合论的基本内容，包括集合的基本概念和基本运算、映射与关系、基数理论、序数理论和素朴集合论的公理化发展。该书按照知识发现的逻辑及其历史脉络来组织有关内容，并将数学学科方法论的有关内容融入到教材中，突出数学思想与方法的介绍。同时，尽可能揭示出集合论与计算机科学与技术之间的联系，使学生感到学有所用。这样做，不但有助于提高学生学习的兴趣，调动其学习的积极性，培养学生的创新能力，而且有利于使学生的知识融会贯通。该书可作为计算机科学与技术类专业和数学专业“集合论”课程的教材，也可供高等学校的教师、学生和广大工程技术人员学习集合论时参考。基于计算机科学与技术一级学科人才培养科学理论
目 录
第0 章 绪论――对“集合论”课程的认知与导学????????1
0．1 对“集合论”课程的认知????????1
0．1．1 集合论的发展简介????????1
0．1．2 集合论的研究对象和要解决的基本问题????????5
0．1．3 素朴集合论的基本原则、思想和方法????????5
0．1．4 素朴集合论中的数学思想和方法????????5
0．1．5 集合论与数学和计算机科学的关系????????6
0．1．6 “集合论”课程的特点及其在学科专业教育中的地位和作用????????7
0．2 对“集合论”课程的导学????????7
0．2．1 本课程的学习方法????????7
0．2．2 关于数学学科基本工作流程方式的讨论???????? 11
0．2．3 关于数学学科知识结构的构建与学科知识的融会贯通问题的讨论????????12
第1 章 集合的基本概念与基本运算????????14
1．1 集合的基本概念???????? 14
1．1．1 集合及其表示????????????? 14
1．1．2 集合之间的关系????????? 16
1．2 集合的运算及其性质????? 17
1．2．1 集合的并、交、补、差、对称差、求幂集运算及其性质???????????????????????? 17
1．2．2 集合的广义并、广义交运算及其性质??????????????? 21
1．3 有穷集和无穷集??? 22
附录1 集合论的基本思想和方法讨论之一――概括原则和外延原则????? 24
习题? 24
第2 章 映射与关系????26
2．1 映射?????????????????????? 26
2．1．1 函数概念的发展????????? 26
2．1．2 映射的概念及其性质? 29
2．1．3 映射的合成（复合） ? 36
?XVI?
2．1．4 逆映射???????????????????????? 39
2．1．5 运算是特殊的映射????? 40
2．2 关系?????????????????????? 41
2．2．1 等价关系???????????????????? 41
2．2．2 序关系???????????????????????? 47
2．2．3 关系???????????????????????????? 54
2．2．4* 多元关系与关系数据库????? 67
2．2．5* 映射、谓词和集合??? 69
附录2A 数学研究的基本思想和方法讨论之一――抽象的方法??????????????? 71
附录2B 数学研究的基本思想和方法讨论之二――特殊化与一般化?????? 71
习题? 72
总思考题??????????????????????? 73
第3 章 基数???????????????75
3．1 无穷集合??????????????? 75
3．1．1 两种不同的无穷观――潜无穷与实无穷??????????? 75
3．1．2 可数（列）集????????????? 77
3．1．3 无穷集的特征????????????? 84
3．1．4 连续统???????????????????????? 85
3．2 集合的基数及其比较????? 87
3．2．1 基数的概念???????????????? 87
3．2．2 连续统假设???????????????? 89
3．2．3 基数的比较???????????????? 91
3．3 基数算术??????????????? 94
附录3A 集合论的基本思想和方法讨论之二――一一对应原则??????????????? 99
附录3B 集合论的基本思想和方法讨论之三――对角线方法???????????????????? 99
习题100
总思考题??????????????????????100
第4 章 序数????????????? 102
4．1 自然数系统??????????102
4．2 全序集的序型及其运算107
4．2．1 全序集的序型??????????? 107
4．2．2 全序集序型的加法和乘法运算???????????????????????? 109
4．3 良序集及其序型??111
?XVII?
4．3．1 良序集?????????????????????? 111
4．3．2 良序集的序型――序数?????? 115
4．3．3 序数与基数的关系??? 118
4．4 序数的比较??????????120
4．5 超穷归纳法??????????123
4．6 序数算术??????????????125
附录4A 集合论的基本思想和方法讨论之四――延伸原则和穷竭原则127
附录4B 集合论的基本思想和方法讨论之五――选择原则?????????????????????? 128
习题129
总思考题??????????????????????129
第5 章 集合论的公理化发展???????????????????????????? 131
5．1 集合论的公理化背景和目标???????????????????????131
5．1．1 集合论公理化的背景????????? 131
5．1．2 集合论公理化的目标????????? 133
5．1．3 集合论公理化的思想和方法???????????????????????????? 133
5．2 序数和基数??????????134
5．2．1 序数?????????????????????????? 134
5．2．2 基数?????????????????????????? 136
5．3 ZFC 公理化系统简介????137
附录5 数学研究的基本思想和方法讨论之三――公理化方法???????????????? 140
习题142
参考文献???????????????????? 143
附录 中英文名词对照????????? 148
后记??????????????????????????? 156