黎曼几何初步（修订版）
作　者： 白正国等编著
出版时间： 2004

内容简介
　　《黎曼几何初步》是一本黎曼几何的入门教材，内容包括：微分流形引论、张量分析、黎曼几何基础、测地线理论及子流形几何。《黎曼几何初步》对研究黎曼几何的三种表示法——不变形式法、活动标架法和自然坐标法——作了统一的处理，介绍了微分流形与黎曼几何中的各种基本概念和技巧，兼顾到经典理论和近代进展的内容，以使读者在学完本教程后能独立从事研究工作。修订版还增加了6个附录，以适应读者进一步的要求。《黎曼几何初步》可作为综合性大学、师范院校数学系各专业高年级选修课教材及研究生教材，也可供数学和物理学工作者参考。

第一章准备知识.
§1欧氏空间的映射
1.1映射的微分链规则
1.2反函数定理
1.3秩定理
1.4Sard定理
§2多重线性代数
2.1向量空间对偶空间
2.2扩张量积张量代数
2.3对称和反(对)称张量
2.4外代数
2.5欧氏向量空间
习题
第二章微分流形
§1微分流形的基本概念
1.1微分流形的定义
1.2实射影空间户”(R)Grassmann流形
1.3流形的映射
1.4浸入与淹没子流形
1.5单位分解
习题
§2向量场
2.1切空间切映劓
2.2切丛向量场
2.3单参数变换群
2.4分布Frobenius定理叶状结构
习题
§3张量场
3.1张量场
3.2外微分
3.3黎曼度量
习题
§4流形上的积分Stokes定理
4.1流形的定向
4.2带边界流形
4.3流形上的积分Stokes定理
习题
第三章联络与曲率
§1仿射联络
1.1Rm及其子流形上的联络
1.2微分流形上的仿射联络
1.3仿射联络的挠率和曲率
习题
§2黎曼联络
2.1黎曼联络
2.2共变微分
习题
§3曲率
3.1曲率张量
3.2截面曲率Ricci曲率纯量曲率
3.3共形变换
习题
§4调和形式
4.1Hodge星算子
4.2Laplace-Beltrami算子
4.3Hodge定理及其几何应用
习题
第四章测地线
§1测地线与测地完备性..
1.1测地线与指数映射法坐标系
1.2测地完备性
习题
§2弧长的变分
2.1弧长的变分
2.2Jacobi场
2.3共轭点
习题
§3*曲率与拓扑
3.1指标引理Myers定理
3.2非正曲率流形的Hadamard定理
习题
§4*比较定理
4.1Hessian比较定理
4.2Laplacian比较定理
4.3体积比较定理
习题
第五章黎曼子流形
§1子流形的基本公式
1.1等距浸入
1.2基本方程
1.3活动标架法
1.4常曲率空间的子流形
习题
§2超曲面
2.1超曲面的基本公式及其应用
2.2主曲率
2.3欧氏空间的超曲面
习题
§3*极小子流形
3.1体积的变分
3.2欧氏空间的极小子流形
3.3球面上的极小子流形
3.4Simons不等式
习题
§4*全绝对曲率与Gauss映射
4.1Lipschitz-Killing曲率
4.2全绝对曲率
4.3Gauss映射
4.4Gauss映射的调和性
习题
附录I常微分方程组存在定理
附录IISard定理
附录III黎曼淹没
附录IV广义极大原理
附录VLie群初貌
附录VI主丛上的联络
附录VII黎曼流形的收敛性和有限性
附录VIII复流形与复几何初步
附录IX关于Finsler几何
附录XRScd流简介
参考文献